Le meilleur angle pour une portée maximale (il n'est pas toujours de 45°)

Si vous lancez quelque chose depuis le niveau du sol et qu'il n'y a pas d'air pour le ralentir, le meilleur angle pour une portée maximale est de 45°. Visez plus bas et il touche le sol trop tôt. Visez plus haut et il gaspille sa vitesse à monter au lieu de parcourir une distance. C'est la réponse des manuels et c'est exact tant qu'on en reste là. Mais les lancers réels commencent rarement au niveau du sol et l'air réel n'est jamais absent, donc l'angle qui gagne réellement est généralement un peu plus bas. Voici le raisonnement, avec des chiffres que vous pouvez vérifier vous-même.

La vitesse doit accomplir deux tâches à la fois

Lorsqu'une balle quitte votre main à 20 m/s, cette vitesse est partagée entre deux directions. La partie horizontale la propulse vers l'avant. La partie verticale combat la gravité et détermine combien de temps la balle reste en l'air.

Vous ne pouvez pas donner une pleine puissance aux deux parties. Lancez-la à plat (0°) et tous les 20 m/s vont vers l'avant, mais la balle n'est en l'air pendant aucun temps, donc elle n'ira nulle part. Lancez-la droit en l'air (90°) et elle reste en l'air pendant une éternité, puis retombe sur vos pieds. Entre ces deux extrêmes se trouve un point idéal où le produit entre le "temps de vol" et la "vitesse vers l'avant" est aussi grand que possible.

La formule de portée d'un projectile, expliquée

Sur un terrain plat sans résistance de l'air, cela demande trois brèves étapes.

1. La vitesse horizontale est v·cos θ, et elle ne change jamais, car rien ne pousse la balle sur le côté une fois qu'elle est en l'air.
2. Le temps de vol est t = 2v·sin θ ÷ g. La balle monte jusqu'à ce que la gravité ait annulé sa vitesse verticale ascendante, puis elle met le même temps pour retomber.
3. La portée est la vitesse horizontale multipliée par le temps :

R = v·cos θ × 2v·sin θ ÷ g = v²·sin 2θ ÷ g

La dernière étape utilise l'identité 2·sin θ·cos θ = sin 2θ, que vous avez peut-être déjà rencontrée en mathématiques.

Pourquoi 45 degrés est-il le meilleur angle de lancement ?

Regardez à nouveau la formule. Pour un lancer donné, v et g ne changent pas, donc la portée dépend uniquement de sin 2θ. La plus grande valeur que peut atteindre le sinus est 1, et sin 2θ = 1 lorsque 2θ = 90°. Donc θ = 45°.

Voici des chiffres réels pour un lancement à 20 m/s sur Terre (g = 9.81 m/s²) :

Angle de lancement	Portée	Temps de vol	Point le plus élevé
15°	20,4 m	1,06 s	1,4 m
30°	35,3 m	2,04 s	5,1 m
45°	40,8 m	2,88 s	10,2 m
60°	35,3 m	3,53 s	15,3 m
75°	20,4 m	3,94 s	19,0 m

Des angles complémentaires donnent la même portée

Examinez les paires dans ce tableau.30° et 60° atent tous les deux à 35,3 m. 15° et 75° atent tous les deux à 20,4 m. Ce n'est pas de la chance. On appelle complémentaires des angles dont la somme est de 90°, et sin 2θ ressort identique pour les deux (sin 60° est le même que sin 120°). Le tir en pente douce reste plus longtemps en l'air mais avance lentement. Le tir en pente raide avance vite mais ne reste pas longtemps en l'air. Les deux effets s'annulent exactement.

Cela est vraiment utile. Si vous devez franchir un mur, choisissez l'angle élevé. Si vous voulez que le ballon arrive rapidement, comme une passe rapide, choisissez celui en pente raide. Même lieu d'atterrissage, parcours très différents.

Quand 45° cesse d'être la réponse

La règle des 45° repose sur deux hypothèses : vous lancez depuis la même hauteur que celle où vous atterrissez, et il n'y a pas d'air. Si vous rompez l'une ou l'autre, le meilleur angle change.

Lancement depuis une hauteur. Un lanceur de poids relâche son poids à environ deux mètres au-dessus du sol. Parce que la boule a déjà un avantage dans sa chute, elle peut se permettre une trajectoire plus plate, et l'angle idéal descend en dessous de 45 °. Il y a aussi une raison humaine : les gens peuvent pousser plus fort à des angles plus bas. En compétition, la boule quitte généralement la main à un angle situé dans les hautes années 30 degrés.

Lancer en contrebas ou depuis une falaise fonctionne de la même manière. Plus vous atterrissez bas par rapport à votre point de lancement, plus le meilleur angle est plat.

La résistance de l'air change-t-elle le meilleur angle ?

Oui, et elle l'abaisse. La traînée ralentit la balle durant tout le vol, et un lancer haut et en arc de cercle passe le plus longtemps dans les airs, il perd donc le plus. Un lancer plus plat atteint le sol avant que la traînée ne puisse voler une grande partie de sa vitesse.

Combien d'abaissement dépend de ce que vous lancez. Une lourde boule de canon à une vitesse modérée ne ressent presque pas l'air, donc son meilleur angle reste proche de 45 °. Un ballon de plage est léger et gros, c'est pourquoi la traînée prend le dessus. Il ralentit rapidement, puis tombe presque tout droit, et sa portée diminue de manière spectaculaire.

Le golf est un cas particulier. Un coup de départ quitte la club avec un angle d'environ 10° à 15°. La traînée contribue à cela, mais la raison principale est l'effet rétro : il confère au ballon une portance, un peu comme une aile, et le maintient en l'air bien plus longtemps que ne le permettrait la gravité seule.

Et sur la Lune ?

Enlevant l'air et affaiblissant la gravité, la règle des 45° revient dans sa forme la plus pure. Avec g = 1,62 m/s² au lieu de 9,81, le même lancer de 20 m/s à 45° parcourt environ 247 m.

Cela fait environ six fois plus loin que sur Terre, car la portée est inversement proportionnelle à g.

Foire aux questions

L'angle de 45 degrés est-il toujours le meilleur ? Uniquement lorsque vous lancez et atterrissez à la même hauteur sans résistance de l'air. Lancer au-dessus du point d'atterrissage, comme le fait un lanceur de poids, rend le meilleur angle inférieur à 45°. La résistance de l'air l'abaisse aussi, car les trajectoires hautes et en boucle passent le plus de temps en l'air et perdent le plus de vitesse à cause de la traînée.

La portance due à la rotation, comme au golf, la modifie encore.

Quel angle donne la hauteur maximale ? Tout droit : 90°. Toute la vitesse de lancement est alors utilisée pour monter, et la hauteur maximale est v² ÷ 2g. Un lancer de 20 m/s sur Terre monterait d'environ 20,4 m.

La masse influence-t-elle la portée d'un projectile ?

Sans résistance de l'air, non. La gravité confère à tout objet la même accélération, 9,81 m/s² sur Terre, de sorte qu'une boule lourde et une légère lancées à la même vitesse et sous le même angle suivent exactement le même trajet. Avec l'air, la masse compte : un objet lourd et compact est à peine ralenti par la traînée, tandis qu'un objet léger et large comme un ballon de plage tombe bien plus court.

Essayez vous-même

Ouvrez le simulateur de mouvement des projectiles et essayez ceci :

• Réglez la vitesse à 20 m/s et tirez à 30°, puis à 60°. Comparez les deux lectures de portée.
• Tirez à 44°, 45° et 46°. Pouvez-vous dépasser 45° d'un seul centimètre ?
• Augmentez la hauteur de lancement, puis recherchez le nouvel angle optimal. Vous le trouverez en dessous de 45°.
• Activez la résistance de l'air, choisissez le ballon de plage et observez son trajet s'effondrer lors de la descente.
• Remplacez la Terre par la Lune et voyez à quelle distance porte le même tir.

Le simulateur écrit les équations en temps réel à mesure que vous modifiez les éléments, afin que vous puissiez vérifier chaque nombre dans le tableau ci-dessus. Si vous souhaitez savoir d'où vient la valeur de g,mesurez-la vous-même avec un pendule simple. Les projectiles sont également un bon endroit pour pratiquerles lois de Newton.