Comment trouver g à l'aide d'un pendule simple (méthode + graphique)

Voici comment trouver g en utilisant un pendule simple : vous pouvez mesurer l'accélération due à la gravité avec un morceau de ficelle, un petit poids et un chronomètre. Mesurez le temps que met le pendule pour osciller à différentes longueurs, tracez T² en fonction de L, et la pente de votre droite vous donne g : g = 4π² ÷ pente. Avec soin, un laboratoire scolaire obtient un résultat à quelques pour cent de 9,81 m/s².

Origine de la formule

Pour de petites oscillations, le temps d'une oscillation complète (aller et retour) est

T = 2π √(L / g)

où L est la longueur du point de suspension au centre du pendule. Deux éléments manquent dans cette formule, et il vaut la peine de les remarquer. La masse n'y figure pas : un pendule plus lourd est plus attiré mais aussi plus difficile à mettre en mouvement, et les deux effets s'annulent exactement. La taille de l'oscillation n'y figure pas non plus, tant qu'elle reste faible (environ 15°).

Élevez les deux côtés au carré et vous obtenez T² = (4π²/g) × L. C'est l'équation d'une droite passant par l'origine, avec une pente de 4π²/g. C'est pourquoi nous traçons T² plutôt que T : un graphique T² en fonction de L est une ligne droite, et vous pouvez lire une pente sur une ligne droite avec précision.

L'expérience du pendule simple, étape par étape

1. Serrez le fil entre deux petits blocs de bois de que le pivot soit un point fixe, pas une boucle qui glisse.
2. Mesurez L du pivot au centre de la masse. Commencez avec environ 1,0 m.
3. Écartez la masse légèrement sur un côté (moins de 15°) et lâchez-la. Ne la poussez pas.
4. Attendez un couple de balancements pour qu'elle se stabilise, puis chronométrez 10 oscillations complètes. Démarrez le chronomètre lorsque la masse passe par le milieu, où elle se déplace le plus rapidement.
5. Divisez par 10 pour obtenir T. Répétez le chronométrage et prenez une moyenne.
6. Raccourcissez le fil de 10 à 20 cm et répétez, jusqu'à ce que vous ayez cinq ou six longueurs.

Pourquoi 10 balancements, et pourquoi le milieu ?

Votre temps de réaction sur un chronomètre est d'environ 0,1 à 0,2 seconde à chaque extrémité, et il ne rétrécit pas seulement parce que l'objet que vous chronométrez est court. Chronométrez un balancement d'environ 2 s et cette erreur est de 5 à 10 %. Effectuez 10 oscillations (environ 20 s) et la même erreur est répartie sur les dix : 0,5 à 1 %.

Mesurer le temps à partir du milieu aide car la masse passe rapidement et votre œil peut repérer le moment avec précision. Aux extrémités, elle ralentit et reste suspendue un instant, il est donc difficile de dire exactement quand elle a changé de direction.

Exemple détaillé

Tracez T² (verticalement) en fonction de L (horizontalement). Les points se situent près d'une ligne droite passant par l'origine. Sa pente est d'environ 4,04 ÷ 1,00 = 4,03 s² m⁻¹, donc

g = 4π² ÷ 4,03 = 39,48 ÷ 4,03 ≈ 9,80 m/s².

Utilisez la pente de votre meilleure droite, pas une seule ligne du tableau. La droite moyenne les petites erreurs de chaque lecture.

Ce qui éloigne votre résultat de 9,81

• Mesurer L jusqu'au mauvais endroit. Mesurer jusqu'au haut ou au bas de la masse au lieu de son centre rend chaque L faux de la même quantité. Votre ligne de graphe ne passe alors pas par l'origine. C'est un indice : si la ligne ne passe pas par (0, 0), vérifiez vos longueurs.
• Trop d'amplitude. Les grands mouvements durent légèrement plus longtemps que ce que dit la formule, donc votre g sort trop bas. À 60°, la période est environ 7 % plus longue.
• Un pivot élastique ou lâche. Si la ficelle glisse ou si le serre-joint se déforme, la longueur réelle change pendant le mouvement.
• Un mouvement elliptique. Si le poids dessine une ovale au lieu d'un arc plat, ce n'est plus un pendule simple. Relâchez-le doucement dans un seul plan.
• Mauvais comptage.« Un » correspond à la première fois qu'il revient à son point de départ, et non au moment où vous l'avez lâché. Commencer le comptage par « un » au lieu de « zéro » est un classique pour faire une erreur de 10 %.

Résistance de l'air

Un vrai pendule oscille de moins en moins loin, car la résistance de l'air transforme son énergie en chaleur. Heureusement, cela modifie à peine la période, donc cela ne gâche pas l'expérience. Il suffit de prendre vos mesures au cours de la première minute, tant que l'amplitude est encore importante.

Foire aux questions

La masse du poids affecte-t-elle la période ?

Non. Un poids plus lourd est attiré plus fortement par la gravité, mais il a également besoin d'une force plus grande pour se mettre en mouvement, et les deux effets s'annulent exactement. C'est pourquoi la masse n'apparaît pas dans T = 2π√(L/g). En pratique, un pendule lourd et petit fonctionne toujours mieux, car la résistance de l'air l'affecte moins.

Quelle est la période d'un pendule d'un mètre ?

Environ 2,0 secondes sur Terre. En remplaçant L = 1,00 m et g = 9,81 m/s² dans T = 2π√(L/g), on obtient T = 2,006 s. Un pendule d'environ 0,994 m de long a une période de exactement 2 s, battant une fois par seconde dans chaque sens, c'est pourquoi on l'appelait autrefois un « pendule de secondes » et qu'il était utilisé dans les horloges.

Quelle valeur de g devrais-je obtenir ?

La valeur acceptée à la surface de la Terre est d'environ 9,81 m/s². Elle varie légèrement selon l'endroit, allant d'environ 9,78 m/s² à l'équateur à 9,83 m/s² aux pôles. Une expérience de pendule soigneuse à l'école aboutit généralement à moins de 2 % de 9,81. Le même g détermine la distance qu'un ballon parcourt : voir le meilleur angle pour une portée maximale, et chaque équation se trouve sur la page de formules de physique.

Essayez-le dans le laboratoire de pendule

The Lab Pendule Laissez-vous tenter par la pratique complète du pendule à l'écran : faites glisser le poids pour régler l'angle, chronométrez 10 oscillations avec le chronomètre, enregistrez vos résultats et observez comment le graphique de T² en fonction de L calcule g à mesure que vous ajoutez des points. Ensuite, tentez des choses que vous ne pouvez pas faire en laboratoire scolaire : réglez la gravité comme sur la Lune ou Jupiter, multipliez la masse par quatre pour prouver que cela n'a pas d'importance, ou poussez l'angle à 70° pour voir la formule commencer à faillir.